Главная » 2014»Июль»24 » Скачать Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами бесплатно
2:38 AM
Скачать Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами бесплатно
Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближения
Диссертация
Автор: Зудашкина, Оксана Валентиновна
Название: Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближения
Справка: Зудашкина, Оксана Валентиновна. Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближения : диссертация кандидата физико-математических наук : 05.13.18 Рязань, 2006 133 c. : 61 06-1/458
Объем: 133 стр.
Информация: Рязань, 2006
Содержание:
Введение
Глава I Построение операторного уравнения для решения задачи локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§1 Представление решения управляемой системы дифференциальных уравнений
§2 Построение операторного уравнения при условии, что управление u{t) = R(t)a
§3 Операторное уравнение в случае, когда управление ф представимо в виде тригонометрического многочлена
§4 Построение операторного уравнения для кусочнопостоянного управления
Глава II Условия разрешимости операторного уравнения
Ра + р(а) = Ь
§5 Условия разрешимости операторного уравнения в критическом и некритическом случаях
§6 Исследование разрешимости операторного уравнения с прямоугольной матрицей линейного приближения
Глава III Решение задачи о существовании локального минимума нелинейного функционала
§7 Исследование форм четного порядка на знакоопределенность
§8 Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений
Введение:
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Задачей исследования является определение условий, при которых система является локально управляемой.
Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, экономических и других процессов [5, 7, 9, 10, 12, 37, 48, 53, 57. 60, 64, 70, 71, 89, 90, 92, 95]. Помимо традиционных областей приложения - точных и опытных наук - математика начинает заниматься такими вопросами, которые ранее изучались только на гуманитарном уровне: конфликтными ситуациями, иерархическими отношениями в коллективах, согласием, авторитетом, общественным мнением [38, 83].
Разнообразные реальные процессы, происходящие в окружающем мире, зачастую являются управляемыми, то есть протекают различным образом в зависимости от конкретного воздействия на них управляющей стороны. Исторически задачи управления встречались еще в древние века, однако интерес к ним особенно возрос в последнее время, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, развитием техники и ростом возможностей ЭВМ, благодаря которым стали осуществимы расчет и реализация сложных законов управления.
При исследовании математических моделей часто возникает задача о построении управляющего воздействия, которое переводит объект в заданное состояние. Приведем некоторые практические задачи, для решения которых могут быть применены изложенные в диссертации методы.
Задача 1. Рассмотрим материальную точку массы т, движущуюся по прямой Ох под действием силы тяги иг и силы трения (к^+с^х, кх > 0, с, > 0. Обозначим через хх = х координату точки, а через х2 = х - ее скорость. Тогда уравнения движения имеют вид [5]
Пусть требуется вывезти автомобиль из гаража. То есть, требуется с помощью выбора управлений щ, и2 за фиксированное время Т перевести систему из начала координат (0,0) в конечное положение (л:,(Г), х2{Т)), причем точка (х,(Г), х2(Т)) выбирается произвольно из некоторой окрестности нуля.
Задача 2. Рассмотрим трехсекторную модель экономики [32], в которой первый (материальный) сектор производит предметы труда, второй (потребительский) - предметы потребления, третий (фондосоздающий) -средства труда.
Уг = +§ + Л^2), (0.2) 2
Л = "Л-Уз + (М3 + А^2), где . = — - фондовооруженность у -того сектора, Ь в] = — -доля числа занятых в у -том секторе в общем числе занятых, vJ = —--доля инвестиций в у -тый сектор в общем объеме инвестиций
Хг управляющий параметр), коэффициент Л учитывает долю выбывших за год основных производственных фондов и годовой темп прироста числа занятых, при этом в1+в2+въ=\, V^+V2+Vi=l.
Стационарная точка дифференциальных уравнений (0.2) задается следующими алгебраическими уравнениями
•Л1у1Лу1(М3+МУ3) = 0, -Я2у2+^2(М3+МУ3) = 0, (0.3)
•^з+|-Vз(Mз + ^32) = 0.
Стационарная точка характеризуется постоянством удельных показателей (производительности труда, фондовооруженности и т.п.). С экономической точки зрения стационарное состояние — это состояние "усеченного" расширенного воспроизводства, когда инвестиции расходуются на замену выбывших средств труда и частично на такое расширение основных произ водственных фондов, которое обеспечивает сохранение фондовооружен-ностей на постоянном уровне.
Предположим, что в начальный момент времени система находится в некотором стационарном состоянии. Требуется выбрать управление таким образом, чтобы в момент времени Т экономика находилась в достаточной близости от стационарного состояния.
•Ля Л(м,+Мг(у1)% + с/, С72 я
0.4) —/У3 {и2х\ + 2у\игхг + у\х\ ),
Ог хъ = {-Хг+2м/гу1)х,+{м,+ыг{у1)% + тУ3 (^3X3 + 2у\щхг + ).
Для системы (0.4) начальное условие примет вид х(О) = 0. В качестве допустимых управлений будем рассматривать управления м(/), удовлетворяющие условиям: ||^.)-у0||<^0, 30 - некоторое число, и,(/) + м2(/) + м3(0 = 0 для любого /е[0;Т]. Ставится задача - найти такое управление, чтобы в фиксированный момент времени Т решение системы (0.4) удовлетворяло равенству х(Т) = Ъ, где вектор Ъ может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля.
При решении подобных задач полезно заранее знать условия, достаточные для существования искомого управления. Поиск управления можно осуществить, используя различные численные методы [52]. В настоя-^ щей работе устанавливаются условия, при которых имеется управление, переводящее динамическую систему за фиксированное время из начала координат в конечное состояние (достаточно близкое к нулю).
Другой тип задач, возникающий при изучении математических моделей, - задача нахождения управления, удовлетворяющего заданному критерию качества. Особый интерес и актуальность представляют задачи исследования свойств решений, расположенных в окрестности известного решения.
Задача 3. Рассмотрим задачу управления ядерным реактором [5]. Среди разнообразных продуктов деления урана-235 ( 235?/) образуется нестабильный изотоп ксенон-135 ('35Хе). Влияние 135Хе на работу ядерного реактора обусловлено тем, что он имеет большое сечение захвата тепловых нейтронов и поэтому его присутствие в реакторе подобно наличию поглотителя нейтронов.
Схема образования и распада 135Хе имеет вид
Вероятность верхней цепочки реакций весьма высока: ух = 0,06, а нижней цепочки ^2 =0,003. Таким образом, в основном П5Хе образуется из 135/. Обозначим через и х2(0 концентрации 135 / и ,35Хе в момент а через и(?) - управление, под которым удобно понимать среднюю плотность тепловых нейтронов в реакторе. Считается, что концентрация ядерного горючего в процессе управления не меняется. Тогда имеют место следующие уравнения:
Те->,35/->,35Хе->,35С*->,35Ва,
Хе->'3^->'35Ва. х,(0 = -Л1х1(0 + Г,стМ0> х2 (0 = Я1х1 (/) - Л2х2 (0 + /2сг,м(0 - а2и^)х \ (/),
0.5) здесь Л1, Л2, , у2, сг,, ст2 - некоторые величины, которые при сделанных допущениях можно считать постоянными.
Первое уравнение описывает изменение количества атомов 135 / во времени: член Л,х, — количество исчезающих в единицу времени атомов
1351 из-за /?-распада атомов йода, член ухстхи — количество 1357 , образующегося за счет деления ядерного горючего (ух =0,06, сг, - макроскопическое эффективное сечение деления ядерного горючего, постоянное в силу предположения о постоянстве концентрации ядерного горючего). Аналогично, для второго уравнения член Лххх показывает количество П5Хе, образующегося за счет /?-распада 1351, член - Л2х2 учитывает ?5-распад 135Хе, член у2сгхи — прямое возникновение П5Хе при делении 235?/ согласно нижней цепочке реакций в схеме, член (т2ихг2 - описывает выгорание П5Хе за счет реакции, связанной с захватом тХе тепловых нейтронов. г
Рассмотрим функционал J(u)= заданный на решениях сисо темы. Отметим, что выделяемая энергия пропорциональна Пусть нам известно решение системы соответствующее управлению и = и0, удовлетворяющее условиям х(0, и0) = 0, х(Т, и0) = Ь0. Наряду с этим решением будем рассматривать решения х^,и), удовлетворяющие условиям: д;(0, и) = 0, х(Т, и) = Ь, где ||и -и0|| < 5Х, \Ь-Ь0\ < 82, 8Х, б2 некоторые числа. Требуется определить, является ли значение функционала J{u0) минимальным среди значений J(u), определенных на решениях
В работе излагаются математические методы, применимые к решению подобных задач.
Цель работы. Развитие качественных и аналитических методов исследования математических моделей, описываемых управляемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Ставится задача - определить условия существования управления, при котором решение нелинейной системы удовлетворяет равенствам х(0) = 0, х(Т) = Ь, причем вектор Ь может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля. Предполагается, что х - п-мерная вектор-функция, и - т -мерная вектор-функция (управление), т<п, Т - фиксированное число.
Определяются необходимые и достаточные условия, при которых функционал заданный на решениях системы (0.6), имеет локальный минимум.
Методика исследования. Управление, являющееся решением поставленной задачи, может быть найдено в виде произведения известной пгхп -матрицы и постоянного п -мерного вектора, в виде тригонометрического многочлена, или в виде кусочно-постоянной функции. Вопрос о локальной управляемости системы сводится к вопросу о разрешимости нелинейного операторного уравнений. Доказательства теорем основаны на применении принципа сжимающих отображений.
Проблема существования локального минимума функционала (0.7) сводится к задаче исследования форм на знакоопределенность. Предложены два способа исследования форм двух и более переменных на знакоопределенность.
Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, создах = , X, и),
0.7) ние электронной вычислительной техники. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основание думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.
Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики, и, прежде всего, потребностями современной техники, определило круг задач, которые составили предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на поиск управления, удовлетворяющего заданному критерию качества, теория наблюдения и стабилизации. Теория управления механическим движением и технологическими процессами рассматривает много разных по формулировке и трактовке задач, при анализе которых важную роль играет теория дифференциальных уравнений. Каждая задача содержит вопрос о существовании управления, возможности его формирования при некоторых ограничительных условиях и о нахождении приближения к управлению из некоторого класса объектов. Наиболее важные и ценные результаты получены в управлении движением, описываемым конечными системами дифференциальных уравнений для числовых функций. Здесь, прежде всего, можно отметить результаты, полученные P.E. Калманом [30], В.И. Зубовым, [27, 28], H.H. Красов-ским [34, 35], Е.А. Барбашиным [6] и другими.
Красовский H.H. в работе [35] для линейной системы х = A(t)x + B{t)u + w(t), x{ta) = xa, x(tp) = xp задачу об управлении рассматривает как проблему моментов, в статье [36] обсуждаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.
Краевая задача для линейных и квазилинейных систем рассматривалась Зубовым В.И. [27]. Большое внимание уделяется возможности численного решения с помощью методов последовательного приближения.
Система х = Ах + Ви, хеЯ", иеЯ"' с постоянными параметрами достаточно подробно исследовалась в работах [8, 30, 41, 66, 82]. При условии 1Н1 < М определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач.
Изучению управляемости бесконечномерными линейными системами посвящена работа [82]. Исследуется проблема ?-управляемости, то есть, возможность перевода системы из точки в ее произвольную е окрестность, как автономными, так и неавтономными системами. Предложено решение рассматриваемой задачи с помощью конечномерного и бесконечномерного управлений.
В теории оптимальных процессов наиболее полные исследования и окончательные результаты относятся к необходимым признакам оптимальности. Широким по содержанию, строго обоснованным и удобным по форме для приложений критерием оптимальности является принцип максимума [66]. Другой подход к проблемам управления - метод динамического программирования рассмотрен в книге [5]. Работы, посвященные проблеме существования оптимального управления процессами [1, 8, 29, 40, 54, 66, 87], основываются на предположении, что система обладает свойством управляемости, то есть, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.
Одной из трудных и мало разработанных проблем, в особенности для нелинейных систем, остается краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. При этом целесообразно изучить данную задачу об управлении сначала даже без учета требования оптимальности по тому или иному показателю.
Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [4, 11, 21 - 26, 44 - 47, 49 - 51, 55, 61 - 63, 67 - 69, 72 - 77, 84 - 86, 88, 91, 93, 94]. Большинство результатов этих работ относятся к изучению задачи локальной управляемости.
В работе [81] Шарафеевым Д.Р. найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу.
Устойчивость управления по параметру исследуется Терехиным М.Т. в работах [73, 74]. В статье [76] изучаются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, исследуется проблема определения множества управляемости.
Пантелеевым В.П. в работе [59] устанавливается критерий локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = А{{)х + и).
В работах [49-51] Митрохиным Ю.С., Степановым А.Н. исследуется система вида х = /(х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.
Воротников В.И. рассматривает задачу нуль-управляемости по части переменных [11], то есть, задачу о переводе нелинейной системы за конечное время из некоторой области в положение, где заданная часть фазовых переменных равна нулю. Ее решение выбором структуры управлений и нелинейных замен переменных сводится к простым линейным задачам оптимального управления.
Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Воскресенским Е.В. [12 - 17]. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств, например, устойчивость.
Метод сравнения использовал в своих работах также Павлов А.Ю. В с1х статье [58] система — = + + /(/, х, и) + сравнивается с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.
Для поиска управлений, разрешающих краевую задачу, Терехин М.Т., Землякова J1.C. [75] предлагают метод вариации промежуточной точки, Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. [18] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, авторы работ [85, 86, 91] при исследовании систем применяют теорию неподвижных точек.
В работах [44, 45] Мастерковым Ю.В. введены понятия локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N-управляемости является наиболее сильным.
Петров H.H. при исследовании нелинейной автономной системы в работе [61] не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. При помощи функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат. Рассматривая проблему локальной управляемости нелинейных систем в работах [61 - 63] Петров H.H. в качестве множества допустимых управлений рассматривал кусочно-постоянные функции, принимающие значения из конечного множества.
Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных функций занимались Раковщик JI.C. [67, 69], Нгуен Тхянь Банг [55], Землякова JI.C. [21 - 26].
В статье [33] авторами с помощью теоремы Брауера о неподвижной точке доказана полная управляемость нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с равномерно ограниченными возмущениями в классе непрерывных управлений. При этом предполагается, что возмущающие члены удовлетворяют локальному условию Липшица по * и по и, а главная (треугольная) часть - глобальному условию Липшица.
В работе [69] Розановой A.B. доказана теорема о локальной управляемости системы, описываемой нелинейным эволюционным уравнением в банаховом пространстве, когда управлением является множитель в правой части.
Содержание работы. Особую роль при исследовании математических моделей занимают исследования управляемых систем. Большое прикладное значение имеет проблема локальной управляемости нелинейных систем. Исследованию этой проблемы посвящены в частности работы [2, 3,27, 45,61,72].
Вопрос о локальной управляемости рассматривался H.H. Красовским [35], В.И. Зубовым [27], ЭТ. Альбрехтом, О.Н. Соболевым [2, 3], Р.Ф. Га-басовым, Ф.М. Кирилловой [18] в предположении полной управляемости системы линейного приближения. Результаты, полученные в настоящей работе, не связаны данным ограничением. Условия существования требуемого управления определяются свойствами как линейных, так и нелинейных частей системы.
Критические случаи изучались и ранее, но приводимые в работах [49 -51] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по х высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю.В. [44, 45] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. В отличие от указанных работ в диссертации методом неподвижной точки устанавливаются критерии локальной управляемости, которые могут быть использованы при решении прикладных задач.
Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения.
В §1 главы I устанавливается вид решения управляемой системы дифференциальных уравнений, который используется в дальнейшем при исследовании проблемы локальной управляемости. Остальные три параграфа посвящены сведению задачи локальной управляемости к вопросу существования решения нелинейного операторного уравнения.
A.B. Арутюновым и В.Н. Розовой предложен другой подход к исследованию нелинейных управляемых систем. В статье [4] изучен вопрос существования регулярного нуля у квадратичного отображения, описывающего поведение динамической системы в окрестности вырожденной точки. На основе полученных результатов авторами найдены условия локальной управляемости нелинейной системы в вырожденном случае.
Вторая глава посвящена проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения относительного постоянного вектора. В §5 получены достаточные условия разрешимости уравнения в предположении, что матрица линейного приближения является квадратной, рассмотрены некритический и критический случаи. В §6 изучен случай прямоугольной матрицы линейного приближения. Показано, что полученные результаты могут быть применимы при исследовании модели движения автомобиля и трех-секторной модели экономики.
Известно [77], что система x = f{x,t,u), (x,t)eRn xfo,^], ueUaR"', локально управляема, если Oeintt/, и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения. Для локальной управляемости линейной системы х = A(t)x + B{t)u достаточно [35], чтобы rang(B(r), ГВ(т),.,Г"'хВ{т))= п в некоторой точке г е [/„,/,].
Исследованию систем в критическом случае посвящены работы [45, 47, 50, 51, 62]. При этом Петров H.H. в работе [62] рассматривает автономные системы, Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. исследуют систему вида х = f{x) + Bu. Мастерков Ю.В. изучает условия управляемости в нуль системы х = /0(х) + и /?(х) в критическом случае. В статье [45] автор выделяет класс систем, для которых имеет место устойчивая локальная управляемость и показывает, что устойчивая управляемость занимает промежуточное положение между N -управляемостью и локальной управляемостью. В данной работе предложен алгоритм исследования систем более общего вида, допускающего наличие нелинейных по управлению и фазовым переменным членов.
В третьей главе обсуждается задача существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях дифференциальной системы уравнений. В §8 получены необходимые и достаточные условия, при которых функционал на заранее заданном решении принимает минимальное значение. Показано, что рассматриваемая задача сводится к определению условий знакоопределенности форм четного порядка. В §7 описываются методы, позволяющие исследовать формы четного порядка двух и нескольких переменных на знакоопределенность. В качестве примера рассмотрена задача управления ядерным реактором.
Отметим, что необходимые условия оптимальности определяются с помощью принципа максимума Понтрягина [5], который основан на рассмотрении отдельных траекторий. Другой подход - метод динамического программирования - основан на изучении всего множества оптимальных траекторий. В данной работе найдены достаточные условия оптимальности известного решения. При этом метод динамического программирования позволяет свести задачу оптимального управления к исследованию задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных, с помощью принципа максимума решение задач управления сводится к изучению краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При изучении свойств решений управляемых систем предложенным в диссертации способом возникает необходимость исследования форм четного порядка с действительными коэффициентами, что может оказаться удобным при решении задач прикладного характера.
В приложении приведены блок-схемы и программа в среде Ое1рЬу, проверяющая условия теорем, установленных в §7.
Необходимые сведения по математическому анализу взяты из [79], по теории дифференциальных уравнений - из [20, 56, 65, 80], по функциональному анализу - из [31, 42, 78], по линейной алгебре - из [19, 39].
На защиту выносятся следующие положения:
1. Условия локальной управляемости системы (0.6) в случае, когда матрица линейного приближения операторного уравнения является неособенной (некритический случай).
2. Алгоритм исследования задачи локальной управляемости в критическом случае с использованием свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0.6).
3. Необходимые и достаточные условия существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях системы (0.6).
Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII, IX Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской радиотехнической академии, на научной конференции "Герценовские чтения - 2004" в г.Санкт-Петербурге, на конференции Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV", на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в г.Туле, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [96
