Главная » 2014»Август»3 » Скачать Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах. Муратова, Галина Викторовна бесплатно
5:42 AM
Скачать Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах. Муратова, Галина Викторовна бесплатно
Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах
Диссертация
Автор: Муратова, Галина Викторовна
Название: Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах
Справка: Муратова, Галина Викторовна. Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в движущихся средах : диссертация доктора физико-математических наук : 05.13.18 Ростов-на-Дону, 2006 297 c. : 71 07-1/276
Объем: 297 стр.
Информация: Ростов-на-Дону, 2006
Содержание:
Введение
Глава
I Конвективно-диффузионный перенос в задачах экологии для водной и воздушной среды
11 Математические модели конвективно-диффузионного переноса в водных и воздушных средах
111 Объем процессов конвекции и диффузии
112 Математическая модель температурного режима в водоемах
113 Модели распространения загрязнения в атмосфере
114 Формы записи операторов диффузионного и конвективного переноса
12 Разностная аппроксимация дифференциальной задачи конвекции диффузии
121 Разностные схемы для стационарной задачи конвекции48 способы аппроксимации нестационарного диффузии
122 Эффективные уравнения конвекции-диффузии
13 Выбор методов решения систем линейных алгебраических уравнений со специальными свойствами
131 Общая теория итерационных методов
132 Классические итерационные методы
133 Вариационные итерационные методы
134 Треугольные кососимметричные методы
Глава II Многосеточный метод для задач конвекции диффузии
21 Этапы развития многосеточного метода
22 Описание многосеточного метода
221 Сглаживающая процедура
222 Грубо-сеточная коррекция
23 Функция интерполяции
224 Функция ограничения
225 Многосеточный алгоритм
23 Фурье-анализ многосеточного метода
231 Фурье-анализ для сеточных функций и операторов
232 Анализ на конечной области или анализ модельной задачи (МРА)
233 Локальный односеточный Фурье-анализ или анализ сглаживания
234 Двухсеточный локальный Фурье-анализ
235 Обобщенный анализ сглаживания
236 Упрощенный двухсеточный анализ
24 Сходимость модификаций многосеточного метода для задач конвекции диффузии с преобладающей конвекцией
25 Численные исследования модификаций многосеточного метода для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией
Глава III Математическая модель температурного Азовском море
31 Пакет прикладных программ распределения в
32 Реализация математической модели температурного распределения Азовского моря
321 Гидрофизические характеристики Азовского моря
322 Описание модели температурного распределения Азовского моря
323 Численные эксперименты расчета температурного распределения в Азовском море
Глава IV Математическая модель распространения радиоактивных примесей в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС
41 Актуальность моделирования процессов распространения загрязняющих радиоактивных веществ в воздушной среде ,2 Математическая постановка задачи
421 Обзор существующих математических моделей
422 Анализ входных метеорологических данных
423 Модель переноса радионуклидов в воздушной среде
43 Использование экономичных разностных схем с треугольным оператором для решения задачи
431 Исследование устойчивости треугольных кососимметричных схем
432 Численные эксперименты исследования свойств треугольных разностных схем
44 Численные эксперименты расчета распространения радионуклидов в воздушной среде в районе Волгодонской АЭС
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение:
На современном этапе развития информационных технологий, включающего значительный прогресс средств переработки, передачи и хранения информации, проникновения их во все сферы жизни, математическое моделирование переживает очередную ступень своего формирования, «встраиваясь в структуру информационного общества. Наличия информации, как таковой, зачастую недостаточно для анализа ситуации, принятия управленческих решений и контроля их исполнения. Необходимы адекватные и надежные способы обработки информации. История развития методологии математического моделирования показывает именно она предоставляет такие способы, становясь, тем самым, ядром информационных технологий, процесса информатизации общества. В общем перечне актуальных задач, решаемых с помощью математического моделирования, экологические проблемы занимают особое место. Увеличение антропогенного воздействия на окружающую среду, вызванное интенсивным использованием природных богатств, развитием материального производства, приводит к нарушению экологического равновесия как локально в отдельных районах земного шара, так и глобально в масштабах планеты в целом. Естественным средством объективного анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и совместном изучении математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить все аспекты и последствия реализации любых проектов, связанных с воздействием на природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций. Важность и актуальность этого направления исследований усиливается тем обстоятельством, что его результаты имеют непосредственный практический выход в сферу социальных и экономических отношений современного общества. Сущность методологии математического моделирования, предложенной в работе А.А.Самарского [92], состоит в замене исходного объекта его «образом» математической моделью и в дальнейшем изучении модели с помощью вычислительно-логических алгоритмов, реализуемых на современной компьютерной технике. Процесс математического моделирования можно условно разбить на три этапа «модель алгоритм- программа». При этом следует уделять внимание всем трем составляющим триады. Необходимо отметить, что нынешнее состояние вычислительной техники, современных численных поведение методов которых позволяют описывается осуществлять весьма моделирование объектов, сложными математическими зависимостями, например, нелинейными системами дифференциальных или интегральных уравнений. Но сложные вычислительные алгоритмы обладают своими внутренними свойствами, которые далеко не всегда аналогичны, даже с точностью до ошибок аппроксимации, свойствам исходной математической модели. Это может приводить к появлению эффектов, имеющих чисто вычислительную природу. Поэтому важной задачей теории численных методов является разработка вычислительных алгоритмов, исключающих или сводящих к минимуму появление подобных ситуаций. Но пока такая теория отсутствует, большое значение имеет качественное исследование модели и ее возможного поведения, возможность найти ответы на три вопроса: что в данной модели может быть, что будет обязательно и чего не будет никогда [36]. Таким образом, проблема разработки адекватных моделей, особенно для описания процессов окружающей среды, и методов, их реализующих, остается весьма актуальной. При решении многих экологических проблем необходимо исследовать процессы в движущихся средах, основными компонентами которых являются диффузионный перенос той или иной субстанции и конвективный перенос, обусловленный движением самой среды. При моделировании процессов полагают рассматриваемую среду сплошной, т.е. представляющую собой непрерывное распределение вещества и физических характеристик его состояния. Во многих случаях можно не оговаривать, о какой именно среде идет речь, поскольку и жидкость, и газ обладают схожими свойствами сплошностью и текучестью. Сплошность непрерывность распределения массы и физико-механических характеристик среды является одним из основных свойств принятой модели жидкости или газа. Второе основное свойство легкая подвижность или текучесть среды. Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием их внутренней молекулярной структуры. Жидкости, в отличие от газов, можно считать малосжимаемыми, а иногда, в простейшей, достаточной для описания многих гидродинамических явлений схеме просто несжимаемыми. В противоположность жидкостям, в газах межмолекулярные расстояния велики, а силы взаимодействия между молекулами сравнительно малы. В связи с этим, газы обладают свойством значительной по сравнению с жидкостями сжимаемостью. Однако, в случае слабых перепадов давлений, малых скоростей движения и отсутствия сколько-нибудь значительных нагревов и газ можно с достаточной степенью приближения рассматривать как несжимаемый. В качестве базовых моделей многих процессов механики жидкости и газа выступают краевые задачи для стационарных и нестационарных уравнений конвекции диффузии. К ним можно отнести задачи гидро- и газодинамики, распространение загрязнения и температурное распределение в водоемах и атмосфере, движение подземных вод, задачи магнитной гидродинамики и др. Среди экологических процессов, основой математических моделей которых является уравнение конвекции- диффузии, следует выделить распространение загрязняющих веществ в водной и воздушной средах, как особенно актуальные и востребованные задачи. Несмотря на фактическую разницу в явлениях и описывающих их параметрах, коэффициентах уравнений, начальных и граничных условий каждая из указанных моделей имеет одинаковые члены, характеризующие два процесса конвекцию (т.е. перенос субстанции за счет движения среды) и диффузию (т.е. вязкостные свойства среды). Изучая поведение уравнения конвекции-диффузии как модельной задачи, можно получить достаточно много информации о поведении решения конкретных практических задач. При решении задач о переносе тепла с большими числами Пекле, о течениях жидкости, описываемых уравнениями Навье-Стокса с большими числами Рейнольдса или задач магнитной гидродинамики с большими числами Хартмана приходится часто сталкиваться с ситуацией, когда в уравнении конвекции диффузии коэффициент при производной второго порядка мал по сравнению с коэффициентом при первой производной. Эти задачи ставятся на парабологиперболических или параболоэллиптических поверхностях и, таким образом, обнаруживают различных типов. Известно [30], что когда параметр при старшей производной стремится к нулю и краевые условия не согласованы с правой частью уравнения, решения таких задач характеризуются появлением пограничных слоев, т.е. резкими изменениями решения в очень малой области расчета. Причем типы этих пограничных слоев могут быть различны (внутренний, приграничный, от начальных данных и т.д.) и зависят они как от граничных условий, так и от поля скоростей (коэффициентов при первых производных). Трудности численного решения таких задач обусловлены их некоторые черты дифференциальных уравнений двойственной природой. Когда коэффициент при старшей производной становится достаточно малым, начальная эллиптическая задача ведет себя по существу как гиперболическая вне приграничных областей, в то время как диффузионный эффект наблюдается только в слоях. Однако, при стандартной численной аппроксимации подход к решению эллиптических и гиперболических задач различается. Если задачи конвекции-диффузии с пограничными или внутренними слоями аппроксимируются с помощью центрально-разностной схемы, численное решение может быть «зашумлено» осцилляциями, так как соответствующий Альтернативой разностный оператор не является монотонным. является аппроксимация первых производных разностями «против потока» [90]. Тогда разностный оператор получается монотонным, и численное решение свободно от осцилляции, но порядок аппроксимации более низкий 0(h) и происходит «размазывание» пограничных слоев. Схемы с искусственной диффузией (streamline upwind scheme) [199] имеют более высокий порядок аппроксимации и меньше размазывают пограничные слоя, но недостатком их является то, что они не обеспечивают хороших оценок сходимости во всей области, и погрешность решения сильно возрастает в пограничных слоях, если сетка к ним не адаптирована [155]. Для решения проблем такого типа существуют так называемые глобально равномерно сходящиеся численные методы, т.е. методы, которые сходятся равномерно по малому параметру во всей области расчета. К таким методам относятся методы экспоненциальной подгонки [30], локального сгущения сетки [112], [195] и др. При различных методах разностной аппроксимации дифференциального уравнения конвекции диффузии получаем системы линейных алгебраических уравнений различного типа. В случае схем преобладающей к системе конвекции линейных использование противопотоковых приводит алгебраических уравнений с монотонной М-матрицей и сильному сглаживанию решения за счет появления в разностных уравнениях искусственной вязкости. При желании использовании сохранить центрально-разностной разностного аппроксимации оператора и при монотонность приходиться накладывать ограничение на шаг сетки. Когда коэффициенты при первых производных достаточно велики, это ограничение становится существенным. Если эти ограничения не выполнены, то матрица полученной линейных алгебраических и уравнений для не будет иметь системы диагонального базовых преобладания, использование решения такой системы итерационных методов [97] приведет к большим трудностям, т.к. условие диагонального преобладания в исходной матрице является для этих методов условием их эффективной сходимости.Следует также учесть, что для задач конвекции диффузии кроме метода разностной аппроксимации весьма важной является начальная форма записи уравнения [97]. Существуют три формы записи оператора конвективного переноса, которые эквиваленты для дифференциального уровня в несжимаемых средах, но после аппроксимации приводят к различным формам разностных уравнений, отличающихся по своим свойствам. Таким образом, использование центрально-разностной аппроксимации при решении задач конвекции диффузии с преобладающей конвекцией сохраняет характер поведения решения, но в результате получается система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, не имеющей диагонального преобладания. Для этого типа задач большинство классических методов либо вообще не работают, либо обладают очень медленной скоростью сходимости. Поэтому так актуальна проблема создания эффективных численных методов для решения задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией. В настоящее время для решения задач линейной алгебры существует множество различных численных методов, которые непрерывно усовершенствуются и модифицируются. Активно разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что значительная часть созданных методов имеет право на существование, обладая своей областью применимости. При решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач метод из множества допустимых методов решения данной задачи. Этот метод, очевидно, должен обладать наилучшими характеристиками, такими как минимум времени решения задачи на компьютере (или минимум числа арифметических и логических операций при нахождении решения), вычислительной устойчивостью, т. е. устойчивостью по отношению к ошибкам округления и др. При выборе метода решения задач конвекции-диффузии необходимо учитывать перечисленные выше особенности рассматриваемого класса задач. 10 Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, необходимый для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, отказаться, выбрав более эффективный. Примером «затратных» алгоритмов являются обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений, возникающих при численном решении уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Так, практически единственным, но наиболее существенным недостатком методов Якоби и Гаусса-Зейделя, используемых для решения эллиптических задач методом сеток, является их низкая скорость сходимости. Другим примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени (выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. То есть, в общем случае, «затратным» можно назвать такой алгоритм, который требует использования очень подробных сеток, там, где на большей части расчетной области величина шага по пространству или по времени много меньше, чем реальный масштаб изменения решения. В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма, который позволит преодолеть главную трудность, возникающую при решении такого рода задачи ее «жесткость». Жесткость задачи заключается в существовании нескольких компонент решения, которые имеют разный масштаб и конфликтуют друг с другом. Например, гладкие компоненты, которые можно эффективно аппроксимировать на грубых сетках, но которые плохо сходятся на мелких сетках, конфликтуют с высокочастотными компонентами, которые необходимо аппроксимировать с помошью мелких сеток. Используя несколько уровней дискретизации, II многосеточный алгоритм решает конфликты такого рода, позволяя достигать большой эффективности, путем снижения объема вычислений, необходимых для получения численного решения. Благодаря вышеуказанным свойствам многосеточный метод (Multi-Grid Method MGM) стал в последние годы одним из эффективных и довольно универсальных итерационных методов решения задач. Он принадлежит к классу быстро сходящихся итерационных методов, является оптимальным по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. Скорость сходимости многосеточного метода всегда независима от числа неизвестных в системе, полученной в результате аппроксимации дифференциального уравнения, то есть многосеточный метод обладает неул5Д1шаемой оценкой сходимости. Другая особенность метода то, что он является своего рода шаблоном. Не существует строго определенного многосеточного Многосеточный алгоритма, метод применимого ко лишь всем краевым задачам. алгоритма, устанавливает структуру эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче. Обладая высокой эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их к наиболее перспективному и быстро развивающемуся
