Главная » 2014»Август»3 » Скачать Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии. Ефимов, Дмитрий Иванович бесплатно
5:48 AM
Скачать Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии. Ефимов, Дмитрий Иванович бесплатно
Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии
Диссертация
Автор: Ефимов, Дмитрий Иванович
Название: Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии
Справка: Ефимов, Дмитрий Иванович. Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.04 Новосибирск, 2004 60 c. : 61 05-1/242
Объем: 60 стр.
Информация: Новосибирск, 2004
Содержание:
1 Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве
11 Основные определения
12 Метрики Фубини-Штуди
13 Свойства формы Фубини-Штуди
14 Отображение момента <(Р^ 15 Метод Тимма
16 Пример: магнитный геодезический поток на СР^
2 Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии
21 Основные определения и факты
22 Форма Кириллова
23 Отображение момента
24 Доказательство теоремы
25 Пример: магнитный геодезический поток на СР^
Введение:
Пусть (М, ш) — симплектическое многообразие. Обозначим через {•, •} скобки Пуассона на М, соответствующие симплектической форме ш.Гамилътоновой системой с функцией Гамильтона Н на симплектическом многообразии {М, ш) называется поток задаваемый системой уравнений X = sgTadH{x), где sgradiT — гамильтоново векторное поле функции Н, определяемое по правилу dH{x)Y = u}{Y, sgradЯ(2:)), Y е ТМ. Функция / называется интегралом гамильтоновой системы, если она коммутирует с функцией Гамильтона относительно скобки Пуассона {/, Я } = 0.Мищенко A.С. и Фоменко А.Т. предложили метод некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем в работе [2] (см. также [3],[4]). Этот метод удобен в случае, когда система обладает избыточным набором первых интегралов, которые не коммутируют между собой. Тогда при определенных дополнительных условиях компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются торами размерности меньше чем половина размерности фазового пространства, при этом движение задаваемое потоком является условнопериодическим.Поясним смысл этого определения. Фактически, ddinxF = / является размерностью алгебры интегралов, а dindJF = i— размерностью максимальной коммутативной подалгебры. Если I + г равно размерности фазового пространства dimM, то инвариантные торы алгебры интегралов имеют размерность г = dimM — 1. Тогда максимальная коммутативная подалгебра (в силу своей коммутативности) задает на инвариантных торах транзитивное действие коммутативной группы W. Поэтому если тор компактен, то он диффеоморфен г-мерному тору. в случае некоммутативной интегрируемости имеет место аналог теоремы Лиувилля (см. [2],[3],[4]).Среди всех гамильтоновых систем особый интерес представляют геодезические потоки римановых метрик. Напомним, определение геодезического потока.Пусть М — кокасательное расслоение некоторого риманова многообразия {N,g), д — риманова метрика, с естественной симплектической структурой со = dpi Л dx^. Геодезическим поток называется ^ % гамильтонова система на (М, и) с функцией Гамильтона где р = (рь . . . ,рп) G T*N.
Известны некоторые топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков, из-за которых невозможно их существование на многообразиях с достаточно сложной топологией (см. [5]-[10]).
Например, в работах И.А. Тайманова [7, 8] указаны топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия: фундаментальная группа многообразия допускающего интегрируемый геодезический поток (в аналитическом случае) должна быть почти коммутативной.
С другой стороны, есть несколько серий многообразий, на которых известны примеры римановых метрик с интегрируемыми геодезическими потоками (см, [4],[11]-[23]). Почти все эти многообразия топологически являются однородными пространствами. А.В. Болсинов и Б. Иованович показали интегрируемость геодезических потоков биинвариантных метрик на двойных частных компактных групп Ли [24]. Классическими примерами римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками являются — 2-мерные поверхности с метриками Лиувилля, — поверхности вращения (интегралы Клеро), — п-мерные эллипсоиды (Якоби), — плоские торы, — группа Ли 50(3) с левоинвариантной метрикой (Эйлер).
Мищенко А,С. и Фоменко А.Т. показали интегрируемость некоторых левоинвариантных метрик на компактных группах Ли [17],[2]. Метрики с интегрируемыми геодезическими потоками на симметрических ^ пространствах в своих работах описали Тимм А. [16], Мищенко А.С. ' [18],[19], Микитюк И.В. [21] и Враилова А.В. [20],[4|. В работе [13] Болсинов А.В., Йованович Б. доказали некоммутативную интегрищ^ руемость геодезического потока биинвариантной метрики на любых однородных пространствах вида G/H, где G — компактная связная группа Ли. Также известны примеры двойных частных групп Ли (естественные обобщения однородных пространств) с интегрируемыми геодезическими потоками, найденные в работах Базайкина Я.В. [15] и Г. Патернайна, Р. Спатцера [23].
Пусть на римановом многообразии {N,g) есть некоторая замкнутая 2-форма Дифференциальная форма и = О) + F, где LJ = (1рг л dx^ — естественная симплектическая форма на кокасательном расслоении, является замкнутой невырожденной 2-формой, и таким образом задает симплектическую структуру на кокасательном расслоении риманова многообразия. Если теперь рассматривать пг. М — T*N симплектическую структуру задаваемую формой о), то это влечет деформацию скобок Пуассона, а деформация скобок Пуассона в свою очередь влечет изменение гамильтоновых векторных по^ ^ лей и соответственно уравнений движения.
Определение. Гамильтонова система на (T*7V, cD) с функцией Гамильтона (1) называется магнитным геодезическим потоком задаваемым формой F.
Согласно уравнениям Максвелла, включение магнитного поля задается замкнутой 2-формой. Таким образом включение магнитного поля не меняет гамильтониан геодезического потока, а состоит в деформации скобок Пуассона (см. [25]).
Основными объектами изучения в данной диссертации являются магнитные геодезические потоки, задаваемые замкнутой невырож^ денной формой, на однородных симплектических многообразиях.
В первой главе доказана теорема а Теорема. Магнитный геодезический поток на TCP"', задаваемый формой Фубини-Штуди, допускает полный коммутативный набор независимых интегралов, то есть он интегрируем.
В теореме рассматривается комплексное проективное пространство СР" с римановой метрикой (метрика Фубини-Штуди) индуцированной стандартным эрмитовым скалярным произведением на С""*"^ в качестве формы деформирующей скобки Пуассона берется форма Фубини-Штуди (мнимая часть эрмитова скалярного произведения).
Известно, что геодезические потоки метрики Фубини-Штуди интегрируемы (см., например, [16]). Для доказательства интегрируемости магнитного геодезического потока используются интегралы геодезического потока. Сформулируем теорему.
Теорема (Нетер). Пусть риманова метрика д на многообразии N допускает однопараметрическую группу изометрий А* : N —> N.
Тогда геодезический поток этой метрики имеет линейный первый интеграл вида f^{x,p)=p{^{x)), edea^) = i\t=oA\x).
То есть компонента импульса вдоль векторного поля ассоциированного с однопараметрической группой постоянна на траекториях потока. В случае комплексного проективного пространства унитарные преобразования являются изометриями, поэтому однопараметрическим группам унитарных преобразований соответствуют линейные интегралы геодезического потока.
Сначала доказывается, что все линейные интегралы геодезического потока, соответствующие однопараметрическим группам унитарных преобразований, можно превратить в интегралы магнитного потока с помощью небольшой поправки. В разделе 1.3 приведен вид этой поправки. Полученные линейные интегралы магнитного потока используются Б разделе 1.4 для коррекции отображения момента Ш Р : Г С Р " - > и ( п + 1).
Подкорректированное отображение момента постоянно на траекториях магнитного потока, и следовательно любые функции вида / о Р , где / — произвольные функции на алгебре u(n + 1), являются интегралами магнитного потока. Причем, если рассматривать инвариантные функции / на алгебре и {'-2. 273-276.
5. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем / / Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, тб. 1299-1302.
6. Колокольцов В.Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 1982. Т. 46, №5. 994-1010.
7. Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков / / Матем. заметки. 1988. Т. 44, №3. 283-284.
8. Тайманов И.А. Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвяхных многообразиях / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т. 51, №2. 429-435.
9. Тайманов И.А. Топология римановых многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками / / Труды МИРАН. 1994. Т. 205, 150-Я63. ^ • # ^ . ifti >
10. Paternain G.P. On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows / / Ergodic Theory Dynam. Systems. 1992. V. 12, P. 109-121.
11. Болсинов A.В., Тайманов И.A. О примере интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией / / Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, вып. 4. 157-158.
12. Bolsinov A.V., Taimanov LA. Integrable geodesic flows on the suspensions of toric automorphisms / / Proc. Steklov. Inst. Math. 2000. V. 231, P. 46-63.
13. Болсинов A.B., Иованович Б. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах / / Матем. сборник. 2001. Т. 192. т. 21-40.
14. Butler L. А new class of homogeneous manifolds with 1.iouvilleintegrable geodesic flows / / C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 1999. V. 21. №4, P. 127-131.
15. Базайкин Я.В. Двойные частные групп Ли с интегрируемым геодезическим потоком / / Сиб. матем. журнал. 2000. Т. 41, №3. 513-530.
16. Thimm А. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces / / Ergodic Theory Dynam. Systems. 1981. V. 1. P. 495-517.
17. Мищенко A.С, Фоменко A.T. Уравнение Эйлера на конечномерных группах Ли / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т.
19. Мищенко А.С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических пространствах / / Матем. заметки. 1982. Т. 31. №2. 257-262.
20. Мищенко А.С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических пространствах / / Труды сем. по вект. и тенз. анализу. №21. М.: Изд-во МГУ, 1983. 13-22. ^
21. Браилов А.В. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на компактных симметрических пространствах / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. №2. 661-674.
22. Микитюк И.В. Однородные пространства с интегрируемыми G-инвариантными гамильтоновыми потоками / / Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. №6. 1248-1262.
23. Guillemin V., Sternberg S. On collective complete integrability according to the method of Thimm / / Ergodic Theory Dynam. ^^ N Systems. 1983. V. 3. P. 219-230.
24. Paternain G.P., Spatzier R.J. New examples of manifolds with completely integrable geodesic flows / / Avd. in Math. 1994. V. 108, P. 346-366.
25. Bolsinov A.v., Jovanovic B. Non-commutative integrability, moment map and geodesic flows / / Annals of Global Analysis and Geometry 2003. V. 23, №4. P. 305-322.
26. Новиков СП. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса / / Успехи мат. наук. 1982. Т. 37, вып. 5. 3-49. т^^ 26. Костант Б. Квантование и унитарные представления / / Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, вып. 1. 163-225.
27. Кириллов А.А. Элементы теории представлений / / М.: Наука, 1972.
28. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения / / М.: Наука, 1986. Работы автора по теме диссертации
29. Ефимов Д.И. Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексной проективной плоскости / / Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2003. Т. IV, вып. 4. 3-10. f:^
30. Ефимов Д.И. Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве / / Сибирский мат. журнал. 2004. Т. 45. №3. 566-576.
31. Ефимов Д.И. Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии. Новосибирск, 2004. 17 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №140) *^ *Шринято к печати в Сибирском математическом исурнале.
