а) Доказать, что система совместна; Чему равен ранг расширенной матрицы системы? Найти общее решение системы; Найти какое-либо частное решение системы. Решение а) Система является совместной, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Ранг матрицы – это максимальное число отличных от 0 миноров.
Прибавим к элементам второй строки элементы первой, умноженные на 2. Прибавим к элементам третьей строки элементы первой. Прибавим к элементам четвертой строки элементы первой, умноженные на . Прибавим к элементам пятой строки элементы первой, умноженные на -3. Элементарными преобразованиями, приводим матрицу к виду:
Далее к элементам пятой строки прибавим элементы второй строки, получим
Мы видим, что элементы пятой строки эквивалентны элементам третьей, умноженной на -1. Следовательно, мы можем вычеркнуть одну из строк.
Нетрудно видеть, что ранг = ранг = 4 Следовательно, система совместна. Совместная система является определенной, если имеет 1 решение и неопределенной, если имеет более одного решения. b) Для того, чтобы найти общее решение системы, обозначим – как свободную, а остальные выразим через . Из 3-го уравнения находим :
Последовательным исключением переменных получаем
Следовательно, общее решение системы имеет вид: Ответ: с) Для того, чтобы получить частное решение системы, подставим
Ответ: Задание 4. Угол между геометрическими векторами равен . Зная, что вычислить . Решение: Находим модуль векторного произведения.
Ответ: Задание 5. В линейном пространстве V3 фиксирован правый декартов базис (I,j, к). Даны три геометрических вектора . Установить, образуют ли геометрические векторы а, b, с базис в линейном пространстве V3 ? Какова ориентация тройки (а,b, с) ? Решение Для того чтобы показать, что векторы образуют базис, достаточно убедиться, что они некомпланарные, т.е. линейно независимы.
Следовательно, векторы не образуют базис. Задание 6. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова система координат (O,i,j,k)
