Главная » 2014»Июль»24 » Скачать Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах. Шеметова, Вероника Владимировна бесплатно
2:56 AM
Скачать Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах. Шеметова, Вероника Владимировна бесплатно
Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах
Диссертация
Автор: Шеметова, Вероника Владимировна
Название: Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах
Справка: Шеметова, Вероника Владимировна. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 Магнитогорск, 2005 c. :
Объем: стр.
Информация: Магнитогорск, 2005
Содержание:
1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
11 Относительно сг-ограниченные онераторы
12 Аналитические грунпы уравнений Соболевского типа
14 Банаховы многообразия и векторные поля Задача Штурма-Лиувилля на графе
15 Квазистационарные траектории
16 Некоторые методы нелинейного функционального анализа
162 Монотонные операторы Теорема о неявной функции ФАЗОВЫЕ Н Р О С Т Р А Н С Т В А
21 Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе
22 Постановка задачи Редукция к абстрактной задаче Морфология фазового пространства Уравнения Хоффа на графе
222 Постановка задачи Редукция к абстрактной задаче
23 Морфология фазового пространства Уравнения Осколкова на графе
233 Постановка задачи Редукция к абстрактной задаче Морфология фазового пространства
24 Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе
243 Постановка задачи Редукция к абстрактной задаче Морфология фазового пространства
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение:
Постановка задач. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной (Л А)щ аАи моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде [3], где параметры Л G М, а G Ш- характеризуют среду. Нас интересует давление жидкости в случае, когда среда нредставляет собой связный нласт, имеюш,ий слоистую структуру. Уравнение Хоффа Хщ моделирует выпучивание двутавровой балки [94]. Здесь параметр Л 6 R+ соответствует нагрузке, а параметры а,13 Е Ж характеризуют свойства материала, причем ар 0. Искомая функция и u{x,t) показывает отклонение балки от вертикали. Нас будет интересовать поведение конструкции из двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой. Уравнение моделирует течение вязкоупругой несжимаемой жидкости по трубе. Это уравнение является одномерным аналогом системы Осколкова [42] vs/ и- {и- v)w VP Л V и 0, описывающей динамику несжимаемой вязкоунругой жидкости Кельвина-Фойгта, и представляет собой гибрид уравнений Бенджамина-Бона-Махони и Бюргерса [84]. Наше внимание будет занимать случай, когда жидкость течет по трубопроводам. Уравнение (А А)щ аАи PdW{uVu) моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. В цептре пашего внимания будет случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соедипенных между собой в произвольном порядке. Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообш,е говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Процедура такой редукции онисана в [95]. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствуюш;ие одномерные уравнения определены на подходяш,их графах. Иными словами, пусть G G(Q3; )-конечный связный ориентированный граф, где 5J {V} множество вершин, а {j} множество дуг. Мы нредпола- гаем,что каждая дуга имеет длину О и толш,ину dj 0. На графе G нас будут интересовать задачи с краевыми Uk(lbt), Ej, Ek G EiVi) и EiVi); O; и начальными Uj{x,O) Ujo{x), X e (0,/j) 7 (0.3) (0.1) (0.2)
Список литературы:
1. Множество называется L-резольвентным множеством оператора М. Множество а{М) С\р{М) называется L-спектром оператора М. Замечание 1.1.
2. Пусть оператор L непрерывно обратим. Тогда Замечание 1.1.2. L-резольвентное множество оператора М всегда открыто, и, следовательно, L-спектр оператора М всегда замкнут. Определение 1.1.
3. Оператор-функции комплекспого переменного с областью определепия р{М) [fiL М), Rj[M) [fiL M)LLj[{M) L{IJLL М) называются соответственно L- резольвентой, правой L-резольвентой, левой L-резольвентойоператора М. Справедливы L-резольвептные тождества, являющиеся аналогами тождества Гильберта: 30
4. Пусть оператор L G ?(11;), а оператор М G C/(il; Тогда L-резольвента, правая и левая L-резольвенты оператора М непрерывны в р Теорема 1.1.
5. Пусть операторы L C{ii;), М G Тогда L-резольвента, правая и левая L-резольвенты оператора М аналитичны в р Определение 1.1.
6. Вектор (р является М-присоединенным высоты не больше q оператора L точно тогда, когда
8. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора L (короче, (L, <7)-ограниченным), если За G E+V/x G С {\ц\ а) 32 вектором
9. Пусть domM it и существует L Е i l Оператор M(L, а}. Тогда имеют смысл следующие интегралы, как интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру: г Тогда опера- Л е м м а 1.1.
10. Пусть оператор M{L а)-ограничен. торы Р G С{й) и Q Е. С{)-проекторы. Положим Я kerP,il i m P 5 kerQ, imQ. Через обозначим сужение оператора L{M) на подпространство domM П Д), fc 0,
12. Точка оо для L-резольвенты онератора М называется (г) устранимой особой точкой, если Н О; (п) полюсом порядка р, если Н О и Н О; (in) существенно особой точкой, если Н* фО нри любом q G N. Теорема 1.1.
13. Если оператор М (L, а)ограничен и точка оо является полюсом порядка р G {0} U N Lрезольвенты оператора М, то оператор М будем называть (L, р)ограниченпым. Теорема 1.1.
14. Пусть выполнены условия (А1) (А4). Тогда оператор М {Lp)-ограничен. Условия (А1) (А4) проверять в приложениях бывает подчас очень непросто. Однако в некоторых частных случаях эти трудности удается существенно уменьшить. 35
15. Пусть L-фредголъмов оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны. (i) Оператор M{L,p)-ограничен. (и) Ни один собственный вектор оператора L не имеет цепочки М-присоединенных векторов длиной большей, чемр G {0}UN. 1.2 Аналитические группы уравнений Соболевского типа Пусть Я и 5- банаховы нространства, онераторы L Е jC{ii; М Е Cl{ii]). Нас будут интересовать разрешаюш,ие грунны линейного онераторно-дифференциального уравнения вида Ьй Ми. (1.2.1) Определение 1.2.
18. Пусть оператор М {L, а)-ограничен. Тогда су- ществуют аналитические разрешающие группы {U* t Е Ш} и t Е М} уравнений соответственно (1.2.2) и (1.2.3), причем (1.2.5) (1.2.6) гдеТ {(1 EC \ii\= г a]. Определение 1.2.
19. Ядром (образом) группы {V* t G М} пазовем множество кег У* {г; G 03 3t G М Vv 0}(imT/* {г; G .V% v}). Очевидно, ker V ker V\ iml" imy* Vi G M. Следствие 1.2.
21. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (1.2.4), если (i) любое решение v v(t) уравнения (1-2.4) лежит в ф т.е. v{t) G ф при каждом t ЕЖ; (ii) при любом г;о Е ф существует единственное решение задачи Коши г;(0) VQ ДЛЯ уравнения (1.2.4). Теорема 1.2.
22. Предполагая уравнение Lu О неосциллирующим на G, мы будем получать спектральные теоремы, анализируя свойства решений нучка уравнений XU -Аи или нучка операторов Lo XI. Теорема 1.4.
23. Мнооюество М вещественных X, при которых 42 -\-{q- Х)и О (1-4.4)
24. Соответствующая Ло собственная функция задачи (1.4.3) не имеет нулей в G. Алгебраическая кратность Ло равна единице. Таким образом, ведущее собственное значение задачи (1.4.3) на произвольном графе G обладает всеми основными свойствами, присущими аналогичной задаче на отрезке. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. Теорема 1.4.
25. Пусть G является деревом и LQ не осциллирует, на G Пусть выполняется условие общности полоэюения. 43
26. Оператор Л 36 X* называется ради> ально непрерывным, если при любых фиксированных u,v X вещественная функция S {А{и sv),v) непрерывна на [0,1]; деминепрерывным, если из Un и в X следует Aun Аи в Х\ Определение 1.6.
27. Пусть u,v произвольные элементы из X. Оператор А:Х-Х* монотонным, если {Аи Av,u г;) 0; старого монотонным, если {Аи Av, и v) О для и V. Определения 1.6.1 и 1.6.2 можно соответствующим образом обобщить на случай операторов А dom А X*, область определения 47 называется:
28. Оператор А X X* монотонен точно тогда, когда при любых фиксированных u,v Е X вещественная t- (fuAi) {A{u tv),v) является возрастающей на [0,1]. функция Лемма 1.6.
29. Пусть А X X* монотонный оператор. Тогда следующие утверэюдения эквивалентны: (i) оператор А радиально непрерывен; (и) из Av, и v) О "iv Е X, следует Аи (iii) из соотношений Un и в X, Aun f вХ* и lim п-оо и) следует, что Аи Определение 1.6.
30. Оператор А X X* называется коэрцитивным, если существует определенная на [О, +оо) вещественная функция 7 с lim j{s) +CXD, s-oo такая, что {Аи,и)>(\\и\\)\\и\\. Сформулируем основную теорему теории монотонных операторов, которая будет использована при изучении фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения. 48
31. Пусть А X X* деминепрерывный ограниченный коэрцитивный оператор, удовлетворяюш,ий условию (iii) из леммы 1.6.
32. Тогда множество решений уравнения Аи f при любом G X* непусто и слабо замкнуто. 1.6.2 Теорема о неявной функции Пусть X и 2) банаховы пространства и F X 2) непрерывный оператор, определенный на некотором открытом подмножестве в X. Обозначим через >С(Х, 2)) множество линейных ограниченных операторов X 2). Определение 1.6.
33. Оператор F называется дифференцируемым (по Фреше) в точке хо X, если существует такой линейный непрерывный оператор А G ?(Х, 2)), что F{xo) Аи\\ о{г) для \\u\\ г при г
34. Перечислим несколько свойств производной Фреше А. (i) Если производная А существует, то она единственная; ее обозначают через F, Fx{xo) или DF{xo). 49
35. Операторы L,M Е ?(it;S), причем спектр (т{Ь) оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к —оо. Итак, редукция задачи (2.1.2)-(2.1.5) к задаче (2.1.6), (2.1.7) закончена. 54
39. Если в теореме 2.1.2 (ii) вектор щ Я, то не существует даже непрерывного решения задачи (2.1.6), (2.1.7). Фазовое пространство уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе можно изобразить схематически (рис.1). 57
40. Фазовое пространство уравнений Баренблатта-ЖелтоваКочиной на графе. 58
41. Фазовое нространство уравнений Хоффа на графе. 69
42. Введем также в рассмотрение оператор 72 j dx Vw, г? G Я
43. Поскольку Т.е. вектор (р не имеет М-присоединенных векторов, то в силу теоремы 1.1.5 имеет место утверждение (i) леммы. 74
45. Пусть w Е Я, тогда и it, щ Е. Точка и Е Ш точно тогда, когда Т (2.3.8) 2.3.3 Морфология фазового пространства Перейдем теперь к описанию фазового пространства задачи (0.9), (0.10). Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда ядро оператора L 77
47. Фазовое нространство уравнений Осколкова на графе. 80
48. Введем также в рассмотрение оператор {N{u),v) 2_] dj I PujUjxVjxdx 77! ,rti \/u,v E il. Лемма 2.4.1. (i) При всех а, Л G R операторы L,M Е C(ii; и фредгольмовы. (и) Спектр оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —сю. Доказательство, (i) В силу неравенства Коши-Буняковского и теоремы Рисса имеем \{Lu,v)\<\\Luh\\vh Отсюда \(Ьщу)\ 83
49. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (0.9), если (i) любое решение и u{t) уравнения (0.9) лежит в ф т.е. u{t) е ф при каждом t е Т Г); (ii) для любого мо G ф суш,ествует единственное решение задачи (0.9), (0.10). Итак, пусть kerL spaji{(fi}. Пусть и Е ii, тогда и a(pi 88
50. Ejee Ej&e Преобразуя полученное уравнение, получим =0 При выполнении условия h I a (2.4.7) Ф данное уравнение имеет два решения ldj dj (2.4.8) Vjpijdx jj-) где D {l3Xi dj II Viipf dx dn 89
51. Фазовое пространство уравнений Корпусова-ПлетнераСвешннкова на графе. 91
52. Морфология этого фазового пространства отличается от морфологии фазового пространства в лемме 2.3.3 и теореме 2.3.2 точно так же, как отличаются графики функций у х и ж. В теореме 2.4.2 (ii) фазовое пространство лежит на 1-сборке Уитни (по терминологии [6]), и "сингулярное множество" этой сборки (т.е. множество, где Ш1 касается ядра kerL) нами пока не исследовано, а в теореме 2.3.2 морфология фазового пространства описана полностью. 92
53. Самара, 2003.- 149-151. [105] Свиридюк, Г.А. Уравнения Варенблатта-Желтова-Кочиной на графе Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова Вестник МаГУ. Математика.- Вын.4.- Магнитогорск: МаГУ, 2003.- 129139. 107
