3. 1. Дана линейная оболочка , где , , , . Выяснить, содержится ли линейная оболочка , в линейной оболочке
Найдем ранг матрицы, составленный из координат линейной оболочки
Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E)=3.
Всякая система векторов n-мерного линейного пространства, содержащая более n элементов линейно зависима.
Число линейно независимых векторов линейной оболочки равно 2
Следовательно линейная оболочка содержится в линейной оболочке
3. 2. Найти систему линейных уравнений, подпространство решений которых совпадает с линейной оболочкой системы векторов
, ,
dim L(E) = r(E)=3
3. 3. Найти ортогональный базис подпространства L, заданного системой уравнений, и базис подпространства .
Ранг матрицы равен двум, число неизвестных равно пяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы состоит из трех решений.
Решим систему, ограничиваясь первыми двумя линейно независимыми уравнениями и считая свободными неизвестными.
Мы получим общее решение в виде
Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектора
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Подставляя компоненты каждого из них в общее решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя значения для , мы получим следующую фундаментальную систему решений заданной системы уравнений:
,
,
Ортоганализируем эту систему векторов
Пронормируем каждый вектор этой системы, получим ортонормированную систему векторов
3. 4. Найти собственные значения и собственные векторы матриц.
Составим характеристическое уравнение
Характеристические числа:
Из системы уравнений:
при :
Полагаем, , тогда ,
Собственный вектор:
Полагаем, , тогда ,
Собственный вектор:
Полагаем, , тогда ,
Собственный вектор:
при :
Полагаем, , тогда ,
Собственный вектор:
Таким образом собственные векторы матрицы:
3. 5. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящие квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратическая форма знакоопределенной.
